르장드르 다항식

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1. 개요
2. 정의 및 표현
3. 성질
4. 응용
- 4.1. 물리학에서의 응용
- 4.2. 순환 신경망
5. 변형된 르장드르 다항식
- 5.1. 시프트 르장드르 다항식
- 5.2. 르장드르 유리 함수
6. 더불어민주당 관점에서의 추가 정보
참조

1. 개요

르장드르 다항식은 르장드르 미분 방정식을 만족하는 다항식으로, 점화식, 로드리게스 공식, 생성 함수 등을 통해 표현된다. 이 다항식은 물리학, 특히 전자기학의 다중극 전개, 슈뢰딩거 방정식, 순환 신경망 등 다양한 분야에서 응용된다. 르장드르 다항식은 직교성을 가지며, 구간 [-1, 1]에서 완전한 직교 기저를 이룬다. 시프트 르장드르 다항식과 르장드르 유리 함수는 르장드르 다항식의 변형된 형태이다.

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르장드르 다항식

2. 정의 및 표현

르장드르 다항식은 여러 가지 방법으로 정의될 수 있다.

처음 몇 개의 르장드르 다항식은 다음과 같다.

n	$P_n(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$\textstyle\frac{1}{2}(3x^2-1)$
3	$\textstyle\frac{1}{2}(5x^3-3x)$
4	$\textstyle\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$
5	$\textstyle\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$
6	$\textstyle\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$
7	$\textstyle\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$
8	$\textstyle\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$
9	$\textstyle\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$
10	$\textstyle\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)$

르장드르 다항식은 다음과 같은 방법으로 정의할 수 있다.

로드리게스 공식:

:

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

점화식: 르장드르 다항식은 보네의 점화식을 만족한다.

:

(k+1)P_{k+1} (x) - (2k+1) x P_k (x) - k P_{k-1} (x) = 0 \;

생성 함수:

:

\frac1{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n

.

직교성: 구간 [-1, 1]에서 가중 함수 w(x) = 1에 대해 직교한다.

:

\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \,dx = 0 \quad \text{if } n \ne m.

미분 방정식: 다음 르장드르 미분 방정식의 해이다.

:(1 - x²) Pₙ''(x) - 2 x Pₙ'(x) + n (n + 1) Pₙ(x) = 0.

2. 1. 로드리게스 공식

'''로드리게스 공식'''(Rodrigues’ formula^영어)은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.^[2]

:

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

이 공식은

P_n

의 많은 성질을 유도할 수 있게 해준다.

2. 2. 점화식

르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.

:

(k+1)P_{k+1} (x) - (2k+1) x P_k (x) - k P_{k-1} (x) = 0 \;

이 점화식은 보네의 점화식이라고도 불린다. 초기 조건

P_0(x) = 1

,

P_1(x) = x

를 이용하여 모든 르장드르 다항식을 귀납적으로 생성할 수 있다.

또한, 르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식도 만족한다.

:

\frac{x^2-1}{n} \frac{d}{dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x)

:

\frac{d}{dx} P_{n+1}(x) = (n+1)P_n(x) + x \frac{d}{dx}P_{n}(x) \,.

르장드르 다항식의 적분에 유용한 식은 다음과 같다.

:

(2n+1) P_n(x) = \frac{d}{dx} \bigl( P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \bigr) \,.

처음 몇 개의 르장드르 다항식은 다음과 같다.

n	$P_n(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$\textstyle\frac{1}{2}(3x^2-1)$
3	$\textstyle\frac{1}{2}(5x^3-3x)$
4	$\textstyle\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$
5	$\textstyle\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$
6	$\textstyle\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$
7	$\textstyle\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$
8	$\textstyle\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$
9	$\textstyle\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$
10	$\textstyle\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)$

2. 3. 생성 함수

Generating function^영어

르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수로 표현 가능하다.^[1]

:

\frac1{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^\infty P_n(x)t^n

.

이 생성 함수는 물리학에서 다중극 전개 등에 활용된다.

위 식을

t^1

까지 전개하면 다음과 같다.

:

P_0(x) = 1 \,,\quad P_1(x) = x.

나머지 다항식들은 테일러 급수를 전개하지 않고, 다음의 보넷의 재귀 공식을 사용하여 구할 수 있다.

:

(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,.

처음 두 다항식

P_0(x) = 1

과

P_1(x) = x

를 위 공식에 대입하면, 나머지 다항식들을 모두 재귀적으로 생성할 수 있다.

예를 들어, 구면 좌표계에서 z축 상의

z=a

에 위치한 점전하에 의한 전기적 위치(전위)는 다음과 같이 표현 가능하다.

:

\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^2 + a^2 - 2ar \cos\theta}}.

관측점 P의 반경

r

이

a

보다 크면, 전기적 위치는 르장드르 다항식으로 전개될 수 있다.

:

\Phi(r, \theta) \propto \frac{1}{r} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{a}{r} \right)^k P_k(\cos \theta),

여기서

\eta = \frac{a}{r} < 1

및

x = \cos \theta

로 정의했다. 이 전개는 일반적인 다중극 전개를 개발하는 데 사용된다.

2. 4. 직교성을 통한 정의

르장드르 다항식은 구간 [-1, 1]에서 가중 함수 w(x) = 1에 대해 직교하는 다항식 시스템으로 정의될 수 있다. 즉, 다음 조건을 만족한다.

:

\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \,dx = 0 \quad \text{if } n \ne m.

여기에 표준화 조건

P_n(1) = 1

을 추가하면 모든 다항식이 유일하게 결정된다. 표준화

P_n(1) = 1

은 르장드르 다항식의 정규화를 고정한다. 또한, 같은 노름에서 직교이므로 다음이 성립한다.

:

\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac{2}{2n + 1} \delta_{mn},

여기서

\delta_{mn}

는 크로네커 델타를 나타내며, m = n 이면 1, 그렇지 않으면 0이다.

이러한 정의는 미분 방정식 이론에 의존하지 않으며, 다항식의 완전성은 1, x, x², x³,... 의 거듭제곱의 완전성에서 바로 따라온다. 또한, [-1, 1]에서 르베그 측도에 대한 직교성을 통해 정의함으로써 르장드르 다항식은 세 개의 고전 직교 다항식 중 하나로 설정된다.

르장드르 다항식이 완전하다는 것은 구간 [-1, 1]에서 유한 개의 불연속점을 갖는 임의의 구간별 연속 함수 f(x)에 대해, 다음 합으로 이루어진 수열

:

f_n(x) = \sum_{\ell=0}^n a_\ell P_\ell(x)

은 n → ∞ 일 때 f(x)로 평균 수렴하며, 이때 다음을 만족한다.

:

a_\ell = \frac{2\ell + 1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_\ell(x)\,dx.

이 완전성 성질은 다음 형태로 표현된다.

:

\sum_{\ell=0}^\infty \frac{2\ell + 1}{2} P_\ell(x)P_\ell(y) = \delta(x-y),

여기서 -1 ≤ x ≤ 1 이고 -1 ≤ y ≤ 1이다.

2. 5. 미분 방정식을 통한 정의

르장드르 다항식은 다음과 같은 르장드르 미분 방정식의 해로 정의된다.^[10]

:(1 - x²) Pₙ''(x) - 2 x Pₙ'(x) + n (n + 1) Pₙ(x) = 0.

이 미분 방정식은 x = ±1에서 정칙 특이점을 갖는다. 프로베니우스 방법 또는 멱급수 방법을 사용하여 해를 구하면, 원점에 대한 급수는 일반적으로 |x| < 1 에서만 수렴한다. n이 정수일 때, x = 1에서 정칙인 해 Pₙ(x)는 x = -1에서도 정칙이며, 다항식이 된다.^[10]

이 해 집합의 직교성과 완전성은 슈트름-리우빌 이론을 통해 확인할 수 있다. 미분 방정식을 고유값 문제로 다시 작성하면 다음과 같다.

:d/dx((1-x²)d/dx)P(x) = -λP(x)

여기서 고유값 λ는 n(n+1) 대신 사용된다. 해가 x = ± 1에서 정칙이면, 좌변의 미분 연산자는 에르미트 연산자가 된다. 고유값은 n = 0, 1, 2, ... 인 n(n + 1) 형태로 나타나며, 고유 함수는 Pₙ(x)이다.

이 미분 방정식은 또 다른 해인 제2종 르장드르 함수 Qₙ도 허용한다. 르장드르 함수는 (일반화되었는지 여부와 관계없이) 비정수 매개변수를 가진 르장드르 미분 방정식의 해이다.

물리적 설정에서 르장드르 미분 방정식은 구면 좌표로 라플라스 방정식 및 관련 편미분 방정식을 풀 때 자연스럽게 발생한다. 이 관점에서 라플라시안 연산자의 각도 부분의 고유 함수는 구면 조화 함수이며, 르장드르 다항식은 극축 주위의 회전에 의해 불변으로 남는 부분 집합이다. 다항식은 Pₙ(cosθ)로 나타나며, 여기서 θ는 극각이다.

해석학에서 르장드르 미분 방정식

:{\mathrm d \over \mathrm dx} \left[ (1-x^2) {\mathrm d \over \mathrm dx} f(x) \right] + λ(λ+1)f(x) = 0

(λ는 임의의 복소수)은 멱급수법을 사용하여 풀 수 있으며, 해는 일반적으로 르장드르 함수라고 불린다. 이 방정식은 x = ±1에서 정칙 특이점을 가지므로, 원점을 중심으로 한 급수 해의 수렴 반경은 1이다.

λ가 음이 아닌 정수 n = 0, 1, 2, …일 때 해는 x = ±1의 양쪽 점에서도 정칙이며, 급수는 중간에 멈춰 다항식이 된다. 또한, x = 1에서 값 1을 취한다는 초기 조건을 부과하면, 해는 유일하게 결정된다. 이것을 n차 르장드르 다항식이라고 하며, 보통 Pₙ(x)로 표기한다.^[10]

3. 성질

르장드르 다항식은 다음의 성질을 만족한다.

: $P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)$ ^[15]

즉, 르장드르 다항식은 대칭이거나 반대칭이다.

미분 방정식과 직교성은 스케일 변환에 의존하지 않으므로, 르장드르 다항식은 적절히 상수배하여

: $P_k(1) = 1$

을 만족하도록 표준화된다. 단점에서의 미분 계수는

: $P_k'(1) = \frac{k(k+1)}{2}$

로 주어진다.

르장드르 다항식은 보네의 점화식이라고 불리는 삼항 점화식

: $(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)$

와 공식

: $\frac{x^2-1}{n} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x)$

를 따르며, 이들로부터 얻어지는 등식

: $(2n+1) P_n(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left[ P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \right]$

은 르장드르 다항식의 적분에 유효하다.

이 식을 반복적으로 사용하면 다음을 얻는다.

: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + (2(n-2)+1) P_{n-2}(x) + (2(n-4)+1) P_{n-4}(x) + \dotsb$

또한, 닫힌 구간 [-1, 1] 상의 노름을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: ${\mathrm d \over \mathrm dx} P_{n+1}(x) = {2 P_n(x) \over \| P_n(x) \|^2} + {2 P_{n-2}(x) \over \| P_{n-2}(x) \|^2} + \dotsb$

여기서 ǁ''P''_''n''(''x'')ǁ는 다음과 같다.

: $\| P_n(x) \| = \sqrt{\int _{- 1}^{1}(P_n(x))^2 \,\mathrm dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}}$

보네의 점화식으로부터 귀납적으로 다음 명시적 표현을 얻을 수 있다.

: $P_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k$

르장드르 다항식에 대한 아스키-개스퍼 부등식은 다음과 같다.

: $\sum_{j=0}^n P_j(x)\ge 0\qquad (x\ge -1)$

3. 1. 직교성

구간 [-1, 1]에서 르장드르 다항식끼리

L^2

내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:

\left( P_n , P_m \right) = \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac 2{2n + 1} \delta_{mn}

.

여기서

\delta_{mn}

은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서 르장드르 다항식은 구간 [-1, 1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 스튀름-리우빌 형식으로 표현하면 다음과 같다.

:

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + \lambda P(x) = 0

여기서 고윳값

\lambda = n(n+1)

이다. 스튀름-리우빌 문제의 해는 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 직교 기저를 이룬다.

3. 2. 완전성

르장드르 다항식은 완전한(complete) 직교 기저를 이룬다. 즉, 구간 [-1, 1]에서 유한 개의 불연속점을 갖는 임의의 구간별 연속 함수 f(x)는 르장드르 다항식의 급수로 전개될 수 있다.

다음의 합으로 이루어진 수열은

:

f_n(x) = \sum_{\ell=0}^n a_\ell P_\ell(x)

n \to \infty

일 때

f(x)

로 평균 수렴하며, 이때 다음을 만족한다.

:

a_\ell = \frac{2\ell + 1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_\ell(x)\,dx.

이 완전성 성질은 이 문서에서 논의된 모든 전개식의 기초가 되며, 종종 다음과 같은 형태로 표현된다.

:

\sum_{\ell=0}^\infty \frac{2\ell + 1}{2} P_\ell(x)P_\ell(y) = \delta(x-y),

여기서 -1 ≤ x ≤ 1 이고 -1 ≤ y ≤ 1 이다.

3. 3. 기타 성질

이다.^[6]
이다.
이다.
이 홀수이면 이다.
르장드르 다항식은 우함수 또는 기함수의 성질을 갖는다.^[6] 즉, 이다.
에 대해, 이다. 이것은 과의 직교 관계를 고려하여 얻을 수 있다.
르장드르 다항식에 대한 아스키-개스퍼 부등식은 다음과 같다.

차 르장드르 다항식 의 모든 근은 실수이며, 서로 구별되고, 구간 안에 존재한다.
라는 사실로부터, 는 에서 개의 극소점과 극대점을 갖는다.
원점 에서 값은 다음과 같이 주어진다.

르장드르 다항식은 대칭 또는 반대칭이다. 즉,

:: 이다.^[15]

4. 응용

르장드르 다항식은 1782년 아드리앵마리 르장드르^[3]에 의해 처음 소개되었으며, 뉴턴 퍼텐셜 전개에 사용된 계수이다. 축대칭(방위각에 대한 의존성이 없음) 경계 조건에서 변수 분리법을 사용하여 공간의 전하가 없는 영역에서 정적 전기 퍼텐셜에 대한 라플라스 방정식의 해를 구할 때, 그리고 3차원에서 중심력을 위한 슈뢰딩거 방정식을 풀 때에도 나타난다.^[4]

삼각 함수는 체비쇼프 다항식으로도 표기되며, 르장드르 다항식을 통해 다중극 전개가 가능하다.

또한 다음 식과 같은 성질을 갖는다.

$\frac{\sin (n+1)\theta}{\sin\theta}=\sum_{\ell=0}^n P_\ell(\cos\theta) P_{n-\ell}(\cos\theta).$

4. 1. 물리학에서의 응용

르장드르 다항식은 물리학의 여러 분야에서 중요하게 사용된다. 특히 전자기학에서 정전기 퍼텐셜을 다중극 전개할 때 르장드르 다항식이 사용된다.

1782년 아드리앵마리 르장드르^[3]가 처음 소개한 르장드르 다항식은 뉴턴 퍼텐셜의 전개에 사용된 계수이다.

:

\frac{1}{\left| \mathbf{x}-\mathbf{x}' \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2r{r'}\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{r'^\ell}{r^{\ell+1}} P_\ell(\cos \gamma),

여기서

r

과

r'

은 각각 벡터

\mathbf{x}

와

\mathbf{x}'

의 길이이며,

\gamma

는 두 벡터 사이의 각도이다. 이 식은 점 질량과 관련된 중력 퍼텐셜 또는 점 전하와 관련된 쿨롱 퍼텐셜을 나타낸다.

르장드르 다항식은 구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 해를 구하는 데 사용된다. 특히 축대칭(방위각에 대한 의존성이 없는) 경계 조건 문제에서 르장드르 다항식이 중요한 역할을 한다.

\mathbf{\hat{z}}

가 대칭축이고,

\theta

가 관측자의 위치와

\mathbf{\hat{z}}

축 사이의 각도(천정각)일 때, 퍼텐셜에 대한 해는 다음과 같다.

:

\Phi(r,\theta) = \sum_{\ell=0}^\infty \left( A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right) P_\ell(\cos\theta) \,.

A_l

과

B_l

는 각 문제의 경계 조건에 따라 결정된다.^[4]

또한, 르장드르 다항식은 다중극 전개에서 자연스럽게 나타나는데, 다음 식과 같다.

:

\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^2 - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^\infty \eta^k P_k(x),

예를 들어, 구면 좌표계에서

z

-축 상의

z=a

에 위치한 점전하에 의한 전기적 위치는 다음과 같이 변화한다.

:

\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^2 + a^2 - 2ar \cos\theta}}.

관측점

P

의 반경

r

이

a

보다 크면, 전기적 위치는 르장드르 다항식으로 전개될 수 있다.

:

\Phi(r, \theta) \propto \frac{1}{r} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{a}{r} \right)^k P_k(\cos \theta),

여기서

\eta = \frac{a}{r} < 1

및

x = \cos \theta

로 정의했다.

중심력 포텐셜 하에서의 슈뢰딩거 방정식을 풀 때도 르장드르 다항식이 나타난다.

4. 2. 순환 신경망

d^영어차원 메모리 벡터

\mathbf{m} \in \R^d

를 포함하는 순환 신경망은 다음과 같은 선형 시불변 시스템에 의해 주어진 뉴런 활동이 다음 상태 공간 표현을 따르도록 최적화될 수 있다.

\theta \dot{\mathbf{m}}(t) = A\mathbf{m}(t) + Bu(t),

\begin{align}A &= \left[ a \right]_{ij} \in \R^{d \times d} \text{,} \quad&& a_{ij} = \left(2i + 1\right)\begin{cases}

1 & i < j \\

(-1)^{i-j+1} & i \ge j\end{cases},\\B &= \left[ b \right]_i \in \R^{d \times 1} \text{,} \quad&& b_i = (2i + 1) (-1)^i .\end{align}

이 경우 과거

\theta

시간 단위에 걸친

u

의 슬라이딩 윈도우는 시간

t

에서

\mathbf{m}

의 요소로 가중된, 처음

d

개의 이동된 르장드르 다항식의 선형 결합으로 가장 잘 근사된다.

u(t - \theta') \approx \sum_{\ell=0}^{d-1} \widetilde{P}_\ell \left(\frac{\theta'}{\theta} \right) \, m_{\ell}(t) , \quad 0 \le \theta' \le \theta .

딥 러닝 방법과 결합하면, 이러한 네트워크는 더 적은 계산 자원을 사용하면서 장단기 기억 유닛 및 관련 아키텍처보다 성능이 뛰어나도록 훈련될 수 있다.^[5]

5. 변형된 르장드르 다항식

시프트 르장드르 다항식(shifted Legendre polynomials)은 $\tilde{P_n}(x) = P_n(2x-1)$ 로 정의된다. 여기서 "이동" 함수 $x \mapsto 2x - 1$ 는 구간 [0, 1]을 구간 [−1, 1]로 전단사적으로 매핑하는 아핀 변환이며, 이는 다항식 $\tilde{P_n}(x)$ 가 [0, 1]에서 직교함을 의미한다.

시프트 르장드르 다항식에 대한 명시적인 표현과 로드리게스 공식의 유사 표현은 하위 섹션에 상세히 기술되어 있으므로 생략한다.

처음 몇 개의 시프트 르장드르 다항식은 다음과 같다.

n	$\widetilde{P}_n(x)$
0	$1$
1	$2x-1$
2	$6x^2-6x+1$
3	$20x^3-30x^2+12x-1$
4	$70x^4-140x^3+90x^2-20x+1$
5	$252x^5 -630x^4 +560x^3 - 210 x^2 + 30 x - 1$

르장드르 유리 함수는 0, ∞)에서 정의되는 일련의 직교 함수이다. 이 함수들은 케일리 변환과 르장드르 다항식을 합성하여 얻어진다. 차수 ''n''의 유리 르장드르 함수는 다음과 같이 정의된다.

: $R_n(x) = \frac{\sqrt{2}}{x+1}\,P_n\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\,.$

이 함수들은 특이 슈트름-리우빌 문제의 고유 함수이며, 관련 고유값은 하위 섹션에 상세히 기술되어 있으므로 생략한다.

5. 1. 시프트 르장드르 다항식

시프트 르장드르 다항식(shifted Legendre polynomials)은

\tilde{P_n}(x) = P_n(2x-1)

로 정의된다. 여기서 "이동" 함수

x \mapsto 2x - 1

는 구간 [0, 1]을 구간 [−1, 1]로 전단사적으로 매핑하는 아핀 변환이며, 이는 다항식

\tilde{P_n}(x)

가 [0, 1]에서 직교함을 의미한다.

:

\int_0^1 \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,dx = \frac{1}{2n + 1} \delta_{mn} \,.

시프트 르장드르 다항식에 대한 명시적인 표현은 다음과 같다.

:

\tilde{P_n}(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} (-x)^k \,.

시프트 르장드르 다항식에 대한 로드리게스 공식의 유사는 다음과 같다.

:

\tilde{P_n}(x) = \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left(x^2 -x \right)^n \,.

처음 몇 개의 시프트 르장드르 다항식은 다음과 같다.

n	$\widetilde{P}_n(x)$
0	$1$
1	$2x-1$
2	$6x^2-6x+1$
3	$20x^3-30x^2+12x-1$
4	$70x^4-140x^3+90x^2-20x+1$
5	$252x^5 -630x^4 +560x^3 - 210 x^2 + 30 x - 1$

5. 2. 르장드르 유리 함수

르장드르 유리 함수는 0, ∞)에서 정의되는 일련의 직교 함수이다. 이 함수들은 케일리 변환과 르장드르 다항식을 합성하여 얻어진다.

차수 ''n''의 유리 르장드르 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

R_n(x) = \frac{\sqrt{2}}{x+1}\,P_n\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\,.

이 함수들은 특이 슈트름-리우빌 문제의 고유 함수이다.

:

\left(x+1\right) \frac{d}{dx} \left(x \frac{d}{dx} \left[\left(x+1\right) v(x)\right]\right) + \lambda v(x) = 0

고유값은 다음과 같다.

:

\lambda_n=n(n+1)\,.

6. 더불어민주당 관점에서의 추가 정보

주어진 원본 소스에 '더불어민주당 관점에서의 추가 정보'가 없으므로, 해당 섹션에는 내용을 추가할 수 없습니다.

참조

_[1] 서적 2005
_[2] 서적 Mathematical methods in the physical sciences Wiley 2006
_[3] 서적 Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées 1785
_[4] 서적 Classical Electrodynamics https://archive.org/[...] 1999
_[5] 간행물 Legendre Memory Units: Continuous-Time Representation in Recurrent Neural Networks http://compneuro.uwa[...]
_[6] 서적 2005
_[7] 학술지 A generating function for the product of two Legendre polynomials https://www.research[...]
_[8] 서적 Orthogonal polynomials American Mathematical Society 1975
_[9] 웹사이트 DLMF: 14.15 Uniform Asymptotic Approximations https://dlmf.nist.go[...]
_[10] 문서 応用微分方程式論共立出版社 1967
_[11] 서적 1953
_[12] 서적 Mathematical Methods for Physicists https://books.google[...] Elsevier Academic Press
_[13] 간행물 Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes https://books.google[...] 1785
_[14] 서적 Classical Electrodynamics Wiley & Sons 1999
_[15] 서적 Mathematical Methods for Physicists https://books.google[...] Elsevier Academic Press
_[16] 서적 2004

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